二进制、八进制与十六进制 —— 计算机的母语
一句话类比
二进制就像一盏灯的“开/关”两种状态，十六进制则是把 4 盏灯的状态用一个字母或数字来速记，八进制是把 3 盏灯的状态用一个数字来速记。
为什么计算机要用二进制？
现实世界
- 灯泡：只有 亮 或 灭。
- 开关：只有 开 或 关。
- 电线：只有 有电 或 无电。
计算机内部由几十亿个微小的“开关”（晶体管）组成。每个开关只有两种状态：导通 (1) 或 截止 (0)。
因此计算机天然只认识 0 和 1。
二进制的好处
- 抗干扰：即使电压有波动，0.8V 和 1.2V 都能正确识别为 1 或 0。
- 简单可靠：逻辑电路设计极其简单（与、或、非门）。
- 数学完备：任何整数、小数、文字、图片、声音都可以用 0 和 1 的组合表示。
二进制计数（用手指演示）
十进制 vs 二进制
| 十进制 | 二进制 | 解释 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 没有东西 |
| 1 | 1 | 一个单位 |
| 2 | 10 | 一位满了，进一位（类似十进制的 9→10） |
| 3 | 11 | 两位都是 1 |
| 4 | 100 | 又进一位 |
| 5 | 101 | |
| 6 | 110 | |
| 7 | 111 | |
| 8 | 1000 |
手势记忆法（用右手五根手指）
把右手五根手指从拇指到小指分别赋予权重：16, 8, 4, 2, 1（拇指=16，食指=8，中指=4，无名指=2，小指=1）。
- 弯曲手指 = 0，伸直 = 1。
- 你能表示 0~31 的所有数字。
例如：只伸直食指(8)和中指(4) → 8+4 = 12（二进制 01100 或更常用 1100）。
十六进制 —— 二进制的速记法（每4位一组）
为什么需要十六进制？
二进制写起来太长了：
1010 1110 0011 0101 这样的 16 位，人眼看着很累。
但是每 4 位二进制可以对应一个 十六进制数字（09, AF）。
对照表
| 二进制 (4位) | 十六进制 | 十进制 |
|---|---|---|
| 0000 | 0 | 0 |
| 0001 | 1 | 1 |
| 0010 | 2 | 2 |
| 0011 | 3 | 3 |
| 0100 | 4 | 4 |
| 0101 | 5 | 5 |
| 0110 | 6 | 6 |
| 0111 | 7 | 7 |
| 1000 | 8 | 8 |
| 1001 | 9 | 9 |
| 1010 | A | 10 |
| 1011 | B | 11 |
| 1100 | C | 12 |
| 1101 | D | 13 |
| 1110 | E | 14 |
| 1111 | F | 15 |
转换例子
- 二进制 1010 1110 → 分组：1010 = A，1110 = E → AE（十六进制通常写作 0xAE 或 AEh）
- 十六进制 3F → 3 = 0011，F = 1111 → 二进制 0011 1111
八进制 —— 二进制的另一种速记法（每3位一组）
为什么需要八进制？
在早期计算机（如 PDP-8、UNIX 权限）中，经常使用每 3 位一组，因为 3 位二进制刚好对应 0~7 八个数字，且不用引入字母，纯粹是数字。虽然现代编程中十六进制更常见，但八进制仍然出现在文件权限（chmod 755）、某些嵌入式代码字面量（以 0 开头的数字）以及位域分组中。
对照表
| 二进制 (3位) | 八进制 | 十进制 |
|---|---|---|
| 000 | 0 | 0 |
| 001 | 1 | 1 |
| 010 | 2 | 2 |
| 011 | 3 | 3 |
| 100 | 4 | 4 |
| 101 | 5 | 5 |
| 110 | 6 | 6 |
| 111 | 7 | 7 |
转换例子
- 二进制 10 1110 01（完整为 010 111 001）→ 分组（从右向左每3位）：010 = 2，111 = 7，001 = 1 → 八进制 0271（通常写作 0271 或 0o271）
- 八进制 755 → 7=111，5=101，5=101 → 二进制 111 101 101
注意陷阱
在 C/C++ 中，以 0 开头的整数字面量表示八进制，例如 0755 实际等于十进制 493，很容易引起歧义。C++11 开始推荐使用 0o755 表示八进制。
模拟练习：手算转换
题目1：将十进制数 58 转换为二进制，再转换为十六进制。
-
十进制 → 二进制（短除法）
- 58 ÷ 2 = 29 余 0
- 29 ÷ 2 = 14 余 1
- 14 ÷ 2 = 7 余 0
- 7 ÷ 2 = 3 余 1
- 3 ÷ 2 = 1 余 1
- 1 ÷ 2 = 0 余 1
- 从下往上读余数：111010（二进制）
-
二进制 → 十六进制
- 从右向左每 4 位一组：0011 1010（左边补零到4位）
- 0011 = 3，1010 = A → 0x3A
答案：十进制 58 = 二进制 111010 = 十六进制 0x3A
题目2：将二进制 1011001110 转换为八进制。
- 从右向左每3位分组：1 011 001 110 → 补成 001 011 001 110
- 001=1，011=3，001=1，110=6 → 八进制 01316（或 0o1316）
自己再试一个：十进制 85 → 二进制？→ 十六进制？→ 八进制？
（答案在文末）
真实世界例子
- 内存地址：0x7FFD43A2 比 01111111111111010100001110100010 好记。
- 颜色值：#FFA500（橙色） → R=255, G=165, B=0。
- 寄存器标志：x86 的 EFLAGS 寄存器长 32 位，用十六进制 0x00000246 描述。
- 文件权限：chmod 755 中的 755 就是八进制，表示 rwxr-xr-x。
自测题
-
1. 二进制 1101 等于十进制多少？
-
2. 十六进制 B3 等于二进制多少？
-
3. 八进制 37 等于十进制多少？又等于二进制多少？
-
4. 为什么计算机绝对不用十进制而用二进制？
自测题答案：
- 13（8+4+1）
- 1011 0011（B=1011，3=0011）
- 八进制 37 = 3*8 + 7 = 31 = 二进制 011111
- 因为计算机硬件只能可靠区分两种电压状态（高/低），二进制无论从电路实现还是抗干扰上都最可靠。
前置练习答案：85 = 二进制 1010101 = 十六进制 0x55（0101 0101）= 八进制 0125（001 010 101）。